| Уравнения от одной переменной над двуступенно нильпотентными группами и цепочки централизаторов | |
| Бучинский И. М.1 | |
| 1.1Институт математики им. С.Л.~Соболева СО РАН, Омск, Россия | |
| Дата поступления 2023.05.14 | Аннотация. В статье доказана эквивалентность понятий нетеровости по уравнениям от одной переменной двуступенно нильпотентной группы без кручения и существования в ней бесконечной цепочки строго убывающих централизаторов и приведена идея о двусторонней связи нетеровых по уравнениям частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп с нетеровыми по уравнениям графами с петлями. |
| Ключевые слова универсальная алгебраическая геометрия, уравнения от одной переменной, нетеровость по уравнениям, двуступенно нильпотентная группа, группа без кручения, централизатор, централизаторная размерность | |
Библиография \bibitem{Buchinskiy0} Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets and ideal theory // Journal of Algebra. 1999. Vol.~219. №~1. P.~16--79. URL: https://doi.org/10.1006/jabr.1999.7881 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy2} Bryant R. The verbal topology of a group // Journal of Algebra. 1977. Vol.~48, №~1. P.~340--346. URL: https://zbmath.org/0408.20022 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy1} Даниярова Э.Ю., Мясников А.Г., Ремесленников В.Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. Новосибирск: Изд--во СО РАН, 2016. 243~c. \bibitem{Buchinskiy6} Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Unification theorems in algebraic geometry // Aspects of Infinite Groups: A Festschrift in Honor of Anthony Gaglione: conference (Fairfield, USA). 2008. P.~80--111. URL: https://doi.org/10.1142/9789812793416\_0007 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy7} Myasnikov A., Shumyatsky P. Discriminating groups and c-dimension // Journal of Group Theory. 2004. Vol.~7. №~1. P.~135--142. URL: https://doi.org/10.1515/jgth.2003.039 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy8} Duncan A.J., Kazachkov I.V., Remeslennikov V.N. Centraliser Dimension of Partially Commutative Groups // Geom Dedicata. 2006. Vol.~120. №~1. P.~73--97. URL: https://doi.org/10.1007/s10711-006-9046-3 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy10} Duncan A.J., Kazachkov I.V., Remeslennikov V.N. Parabolic and quasiparabolic subgroups of free partially commutative groups // Journal of Algebra. 2007. Vol.~318. №~2. P.~918--932. URL: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2007.08.032 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy11} Blatherwick V. Centraliser dimension of free partially commutative nilpotent groups of class 2 // Glasgow Mathematical Journal. 2008. Vol.~50. №~2. P.~251--269. URL: https://doi.org/10.1017/S0017089508004187 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy13} Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. 288~с. \bibitem{Buchinskiy12} Мищенко А.А., Трейер А.В. Графы коммутативности для частично коммутативных двуступенно нильпотентных $\mathbb{Q}$-групп // Сибирские электронные математические известия. 2007. Т.~4. С.~460--481. URL: http://semr.math.nsc.ru/v4/p460-481.pdf (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy4} Котов М.В. Несколько замечаний о нетеровости по уравнениям // Вестн. Ом. ун-та. 2013. Т.~2013, №~2. С.~24--28. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/neskolko-zamechaniy-o-nyoterovosti-po-uravneniyam (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy5} Бучинский И.М., Трейер А.В. О графах, не являющихся нетеровыми по уравнениям~// Сибирские электронные математические известия. 2023. Т.~20, №~2. С.~580--587. URL: http://semr.math.nsc.ru/v20/n2/p580-587.pdf (дата обращения: 12.08.2023). \bibitem{Buchinskiy3} Baumslag G., Myasnikov A., Roman'kov V. Two Theorems about Equationally Noetherian Groups // Journal of Algebra. 1997. Vol.~194. №~2. P.~654--664. URL: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1997.7025 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy14} Мищенко А.А. Структура координатных групп для алгебраических множеств в частично коммутативных нильпотентных группах // Алгебра и логика. 2009. Т.~48, №~3. С.~378--399. URL: http://mi.mathnet.ru/al404 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy15} Buchinskiy I.M., Treier A.V. On first order definability of equationally noetherian graphs // Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol.~1901, №~1. P.~012032. URL: https://doi.org/10.1088/1742-6596/1901/1/012032 (дата обращения: 12.05.2023). | |
Сведения о финансировании и благодарности Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, проект FWNF-2022-0003 | |
| Equations in one variable over two-step nilpotent groups and chains of centralizers | |
| Buchinskiy I. M.1 | |
| 1.1Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Omsk, Russia | |
| Received 2023.05.14 | Abstract. In the article we prove the equivalence of the concepts of equationally Noetherianity of a torsion-free two-step nilpotent group and the existence in it of an infinite chain of strictly decreasing centralizers and present the idea of a two-way connection between equationally Noetherian partially commutative two-step nilpotent groups and equationally Noetherian graphs with loops. |
| Keywords universal algebraic geometry, equations in one variable, equationally Noetherian property, class two nilpotent group, torsion-free group, centralizer, centralizer dimension | |
References \bibitem{Buchinskiy0} Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets and ideal theory // Journal of Algebra. 1999. Vol.~219. №~1. P.~16--79. URL: https://doi.org/10.1006/jabr.1999.7881 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy2} Bryant R. The verbal topology of a group // Journal of Algebra. 1977. Vol.~48, №~1. P.~340--346. URL: https://zbmath.org/0408.20022 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy1} Даниярова Э.Ю., Мясников А.Г., Ремесленников В.Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. Новосибирск: Изд--во СО РАН, 2016. 243~c. \bibitem{Buchinskiy6} Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Unification theorems in algebraic geometry // Aspects of Infinite Groups: A Festschrift in Honor of Anthony Gaglione: conference (Fairfield, USA). 2008. P.~80--111. URL: https://doi.org/10.1142/9789812793416\_0007 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy7} Myasnikov A., Shumyatsky P. Discriminating groups and c-dimension // Journal of Group Theory. 2004. Vol.~7. №~1. P.~135--142. URL: https://doi.org/10.1515/jgth.2003.039 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy8} Duncan A.J., Kazachkov I.V., Remeslennikov V.N. Centraliser Dimension of Partially Commutative Groups // Geom Dedicata. 2006. Vol.~120. №~1. P.~73--97. URL: https://doi.org/10.1007/s10711-006-9046-3 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy10} Duncan A.J., Kazachkov I.V., Remeslennikov V.N. Parabolic and quasiparabolic subgroups of free partially commutative groups // Journal of Algebra. 2007. Vol.~318. №~2. P.~918--932. URL: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2007.08.032 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy11} Blatherwick V. Centraliser dimension of free partially commutative nilpotent groups of class 2 // Glasgow Mathematical Journal. 2008. Vol.~50. №~2. P.~251--269. URL: https://doi.org/10.1017/S0017089508004187 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy13} Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. 288~с. \bibitem{Buchinskiy12} Мищенко А.А., Трейер А.В. Графы коммутативности для частично коммутативных двуступенно нильпотентных $\mathbb{Q}$-групп // Сибирские электронные математические известия. 2007. Т.~4. С.~460--481. URL: http://semr.math.nsc.ru/v4/p460-481.pdf (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy4} Котов М.В. Несколько замечаний о нетеровости по уравнениям // Вестн. Ом. ун-та. 2013. Т.~2013, №~2. С.~24--28. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/neskolko-zamechaniy-o-nyoterovosti-po-uravneniyam (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy5} Бучинский И.М., Трейер А.В. О графах, не являющихся нетеровыми по уравнениям~// Сибирские электронные математические известия. 2023. Т.~20, №~2. С.~580--587. URL: http://semr.math.nsc.ru/v20/n2/p580-587.pdf (дата обращения: 12.08.2023). \bibitem{Buchinskiy3} Baumslag G., Myasnikov A., Roman'kov V. Two Theorems about Equationally Noetherian Groups // Journal of Algebra. 1997. Vol.~194. №~2. P.~654--664. URL: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1997.7025 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy14} Мищенко А.А. Структура координатных групп для алгебраических множеств в частично коммутативных нильпотентных группах // Алгебра и логика. 2009. Т.~48, №~3. С.~378--399. URL: http://mi.mathnet.ru/al404 (дата обращения: 12.05.2023). \bibitem{Buchinskiy15} Buchinskiy I.M., Treier A.V. On first order definability of equationally noetherian graphs // Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol.~1901, №~1. P.~012032. URL: https://doi.org/10.1088/1742-6596/1901/1/012032 (дата обращения: 12.05.2023). | |
Acknowledgements Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, проект FWNF-2022-0003 | |
| Сведения об авторах Бучинский И. М. 1.1 |
| About the authors Buchinskiy I. M. 1.1 |
