| Универсальная алгебраическая геометрия: вперёд в будущее | |
| Даниярова Э. Ю.1, Мясников А. Г.2, Ремесленников В. Н.3 | |
| 1.1Институт математики им. С.Л.~Соболева СО РАН, Омск, Россия | |
| Дата поступления 2023.12.28 | Аннотация. Здание универсальной алгебраической геометрии, или алгебраической геометрии над алгебраическими системами, выстраивается уже в течение четверти века. В нашей обзорной статье речь пойдёт об истории развития теории универсальной алгебраической геометрии, о задачах, которые её вызвали к жизни, и тех, что возникают в процессе построения этой теории, о том состоянии, в котором мы обнаруживаем универсальную алгебраическую геометрию в настоящее время, и, главное, о тех направлениях, в которых она продолжает свой естественный прирост. |
| Ключевые слова универсальная алгебраическая геометрия, алгебраическая система, проблема Тарского, свободная группа, разрешимая группа, абелева группа, нильпотентная группа, проблема Плоткина, логическая геометрия, теория интерпретаций | |
Библиография \bibitem{DMR_monograph} Даниярова Э.Ю., Мясников А.Г., Ремесленников В.Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2016. 243~с. \bibitem{DMR_KM1} Kharlampovich O., Myasnikov A. Irreducible affine varieties over free group~I: Irreducibility of quadratic equations and Nullstellensatz // J.~Algebra. 1998. V.~200, N.~2. P.~472--516. \bibitem{DMR_KM2} Kharlampovich O., Myasnikov A. Irreducible affine varieties over free group~II: Systems in trangular quasi-quadratic form and description of residually free groups // J.~Algebra. 1998. V.~200, N.~2. P.~517--570. \bibitem{DMR_KM3} Kharlampovich O., Myasnikov A. Algebraic geometry over free groups: Lifting solutions into generic points // Contemp. Math. 2005. V.~378, P.~213--318. \bibitem{DMR_KM4} Kharlampovich O., Myasnikov A. Elementary theory of free nonabelian groups // J.~Algebra. 2006. V.~302, N.~2. P.~451--552. \bibitem{DMR_Sela1} Sela Z. Diophantine geometry over groups I: Makanin-Razborov diagrams // Publications Mathematiques de l'IHES. 2001. V.~93. P.~31--105. \bibitem{DMR_Sela2} Sela Z. Diophantine geometry over groups II: Completions, closures and formal solutions // Israel J.~Math. 2003. V.~134. P.~173--254. \bibitem{DMR_Sela6} Sela Z. Diophantine geometry over groups VI: The elementary theory of a free group // GAFA. 2006. V.~16. P.~707--730. \bibitem{DMR_Sela8} Sela Z. Diophantine geometry over groups VIII: Stability // Annals Math. 2013. V.~177. P.~787--868. \bibitem{DMR_BMR1} Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups~I: Algebraic sets and ideal theory // J.~Algebra. 1999. V.~219. P.~16--79. \bibitem{DMR_MR2} Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups II: Logical foundations // J.~Algebra. 2000. V.~234. P.~225--276. \bibitem{DMR_Plot1} Plotkin B. Varieties of algebras and algebraic varieties. Categories of algebraic varieties // Siberian Advances in Math. 1997. V.~7, N.~2. P.~64--97. \bibitem{DMR_Plot5} Plotkin B.I. Seven lectures on the universal algebraic geometry // Groups, Algebras, Identities. Cont. Math, AMS. 2019. V.~726. P.~143--215. \bibitem{DMR_Plot4} Plotkin B.I. Geometrical equivalence, geometrical similarity, and geometrical compatibility of algebras // J.~Math.~Sciences (New York). 2007. V.~140, N.~5. P.~716--728. \bibitem{DMR_Shevl1} Шевляков А.Н. Сплетения полугрупп и проблема Б.И.~Плоткина // Алгебра и логика, принята к печати. \bibitem{DMR_Shevl2} Shevlyakov A.N. Equationally Noetherian varieties of semigroups and B.~Plotkin`s problem // SEMR. 2023. Т.~20, N.~2. P.~724--734. \bibitem{DMR_Shevl3} Shevlyakov~A. Direct powers of algebraic structures and equations // ПДМ. 2022. Т.~58. С.~31--39. \bibitem{DMR_Shevl4} Shevlyakov~A. On group automorphisms in universal algebraic geometry // Groups, Complexity, Cryptology. 2019. V.~11, N.~2. P.~115--122. \bibitem{DMR_Shevl5} Shevlyakov~A., Shahryary M. Direct products, varieties, and compactness conditions // Groups, Complexity, Cryptology. 2017. V.~9, N.~2. P.~159--166. \bibitem{DMR_Tr1} Бучинский И.М, Трейер А.В. О графах, не являющихся нётеровыми по уравнениям // SEMR. 2023. Т.~20, N.~2. С.~580--587. \bibitem{DMR_Tr2} Бучинский И.М, Котов М.В., Трейер А.В. О предикатных алгебраических системах, не являющихся нётеровыми по уравнениям // отправлена в журнал. \bibitem{DMR_Tr3} Трейер А.В. О $1$"~нётеровости по уравнениям для групп // отправлена в журнал. \bibitem{DMR_IBM} Бучинский И.М. Уравнения от одной переменной над двуступенно нильпотентными группами и цепочки централизаторов // отправлена в журнал. \bibitem{DMR_KM5} Kharlampovich O., Myasnikov A. Tarski-type problems for free associative algebras // J.~Algebra. 2018. V.~500. P.~589--643. \bibitem{DMR_KM6} Kharlampovich O., Myasnikov A. Equations in algebras // Int. J.~Algebra Comp. 2018. V.~28, N.~08. P.~1517--1533. \bibitem{DMR_KM7} Kharlampovich O., Myasnikov A. Undecidability of the first order theories of free non-commutative Lie algebras // J.~Symb. Logic. 2018. V.~83, N.~3. P.~1204--1216. \bibitem{DMR_Ilev} Ильев А.В., Ремесленников В.Н. Исследование совместности систем уравнений над графами и нахождение их общих решений // Вестник Омского ун-та. 2017. Т.~86, N.~4. C.~26--32. \bibitem{DMR_GR} Горкун И.Ф., Рыбалов А.Н. Генерическая NP"~полнота проблем разрешимости систем уравнений над конечными группами, полугруппами и полями // Вестник Омского ун-та, принята к печати. \bibitem{DMR_PR} Пичуев К.Д., Рыбалов А.Н. О сложности решения уравнений в бициклическом моноиде // Вестник Омского ун-та, принята к печати. \bibitem{DMR_MRom1} Myasnikov A., Romanovskiy N. Krull dimension of solvable groups // J.~Algebra. 2010. V.~324, N.~10. P.~2814--2831. \bibitem{DMR_Louder} Louder L. Krull dimension for limit groups // Geometry \& Topology. 2012. V.~16, N.~10. P.~219--299. \bibitem{DMR_DJP} Diekert V., Je\.z A., Plandowski W. Finding all solutions of equations in free groups and monoids with involution // Inform. Comput. 2016. V.~251. P.~263--286. \bibitem{DMR_CDE} Ciobanu L., Diekert V., Elder M. Solution sets for equations over free groups are EDT0L languages // Int. J.~Algebra Comput. 2016. V.~26, N.~5. P.~843--886. \bibitem{DMR_CE} Ciobanu L., Elder M. The complexity of solution sets to equations in hyperbolic groups // Israel J.~Math. 2021. V.~245. P.~869--920. \bibitem{DMR_Plot9} Plotkin B. Algebraic logic and logical geometry in arbitrary varieties of algebras // Proc. Conf. Group Theory, Comb. Comp., AMS Cont. Math. Ser. 2014. P.~151--169. \bibitem{DMR_Plot8} Плоткин Б.И. Изотипные алгебры // Совр. пробл. матем. 2011. Т.~15. С.~40--66. \bibitem{DMR_MRom2} Myasnikov A.G., Romanovskii N.S. Characterization of finitely generated groups by types // Int. J.~Algebra Comp. 2018. V.~28, N.~8. P.~1613--1632. | |
Сведения о финансировании и благодарности Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, проект FWNF-2022-0003 | |
| Universal algebraic geometry: forward to the future | |
| Daniyarova E. Yu.1, Myasnikov A. G.2, Remeslennikov V. N.3 | |
| 1.1Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Omsk, Russia | |
| Received 2023.12.28 | Abstract. The building of universal algebraic geometry, or algebraic geometry over algebraic structures, has been under construction for a quarter of a century. In our review article we will talk about the history of the development of the theory of universal algebraic geometry, the problems that brought it to life, and those that arise in the process of building this theory, the state in which we find universal algebraic geometry today, and, most importantly, about those directions in which it continues its natural growth. |
| Keywords universal algebraic geometry, algebraic structure, Tarski problem, free group, solvable group, abelian group, nilpotent group, Plotkin problem, logical geometry, interpretation theory | |
References \bibitem{DMR_monograph} Даниярова Э.Ю., Мясников А.Г., Ремесленников В.Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2016. 243~с. \bibitem{DMR_KM1} Kharlampovich O., Myasnikov A. Irreducible affine varieties over free group~I: Irreducibility of quadratic equations and Nullstellensatz // J.~Algebra. 1998. V.~200, N.~2. P.~472--516. \bibitem{DMR_KM2} Kharlampovich O., Myasnikov A. Irreducible affine varieties over free group~II: Systems in trangular quasi-quadratic form and description of residually free groups // J.~Algebra. 1998. V.~200, N.~2. P.~517--570. \bibitem{DMR_KM3} Kharlampovich O., Myasnikov A. Algebraic geometry over free groups: Lifting solutions into generic points // Contemp. Math. 2005. V.~378, P.~213--318. \bibitem{DMR_KM4} Kharlampovich O., Myasnikov A. Elementary theory of free nonabelian groups // J.~Algebra. 2006. V.~302, N.~2. P.~451--552. \bibitem{DMR_Sela1} Sela Z. Diophantine geometry over groups I: Makanin-Razborov diagrams // Publications Mathematiques de l'IHES. 2001. V.~93. P.~31--105. \bibitem{DMR_Sela2} Sela Z. Diophantine geometry over groups II: Completions, closures and formal solutions // Israel J.~Math. 2003. V.~134. P.~173--254. \bibitem{DMR_Sela6} Sela Z. Diophantine geometry over groups VI: The elementary theory of a free group // GAFA. 2006. V.~16. P.~707--730. \bibitem{DMR_Sela8} Sela Z. Diophantine geometry over groups VIII: Stability // Annals Math. 2013. V.~177. P.~787--868. \bibitem{DMR_BMR1} Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups~I: Algebraic sets and ideal theory // J.~Algebra. 1999. V.~219. P.~16--79. \bibitem{DMR_MR2} Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups II: Logical foundations // J.~Algebra. 2000. V.~234. P.~225--276. \bibitem{DMR_Plot1} Plotkin B. Varieties of algebras and algebraic varieties. Categories of algebraic varieties // Siberian Advances in Math. 1997. V.~7, N.~2. P.~64--97. \bibitem{DMR_Plot5} Plotkin B.I. Seven lectures on the universal algebraic geometry // Groups, Algebras, Identities. Cont. Math, AMS. 2019. V.~726. P.~143--215. \bibitem{DMR_Plot4} Plotkin B.I. Geometrical equivalence, geometrical similarity, and geometrical compatibility of algebras // J.~Math.~Sciences (New York). 2007. V.~140, N.~5. P.~716--728. \bibitem{DMR_Shevl1} Шевляков А.Н. Сплетения полугрупп и проблема Б.И.~Плоткина // Алгебра и логика, принята к печати. \bibitem{DMR_Shevl2} Shevlyakov A.N. Equationally Noetherian varieties of semigroups and B.~Plotkin`s problem // SEMR. 2023. Т.~20, N.~2. P.~724--734. \bibitem{DMR_Shevl3} Shevlyakov~A. Direct powers of algebraic structures and equations // ПДМ. 2022. Т.~58. С.~31--39. \bibitem{DMR_Shevl4} Shevlyakov~A. On group automorphisms in universal algebraic geometry // Groups, Complexity, Cryptology. 2019. V.~11, N.~2. P.~115--122. \bibitem{DMR_Shevl5} Shevlyakov~A., Shahryary M. Direct products, varieties, and compactness conditions // Groups, Complexity, Cryptology. 2017. V.~9, N.~2. P.~159--166. \bibitem{DMR_Tr1} Бучинский И.М, Трейер А.В. О графах, не являющихся нётеровыми по уравнениям // SEMR. 2023. Т.~20, N.~2. С.~580--587. \bibitem{DMR_Tr2} Бучинский И.М, Котов М.В., Трейер А.В. О предикатных алгебраических системах, не являющихся нётеровыми по уравнениям // отправлена в журнал. \bibitem{DMR_Tr3} Трейер А.В. О $1$"~нётеровости по уравнениям для групп // отправлена в журнал. \bibitem{DMR_IBM} Бучинский И.М. Уравнения от одной переменной над двуступенно нильпотентными группами и цепочки централизаторов // отправлена в журнал. \bibitem{DMR_KM5} Kharlampovich O., Myasnikov A. Tarski-type problems for free associative algebras // J.~Algebra. 2018. V.~500. P.~589--643. \bibitem{DMR_KM6} Kharlampovich O., Myasnikov A. Equations in algebras // Int. J.~Algebra Comp. 2018. V.~28, N.~08. P.~1517--1533. \bibitem{DMR_KM7} Kharlampovich O., Myasnikov A. Undecidability of the first order theories of free non-commutative Lie algebras // J.~Symb. Logic. 2018. V.~83, N.~3. P.~1204--1216. \bibitem{DMR_Ilev} Ильев А.В., Ремесленников В.Н. Исследование совместности систем уравнений над графами и нахождение их общих решений // Вестник Омского ун-та. 2017. Т.~86, N.~4. C.~26--32. \bibitem{DMR_GR} Горкун И.Ф., Рыбалов А.Н. Генерическая NP"~полнота проблем разрешимости систем уравнений над конечными группами, полугруппами и полями // Вестник Омского ун-та, принята к печати. \bibitem{DMR_PR} Пичуев К.Д., Рыбалов А.Н. О сложности решения уравнений в бициклическом моноиде // Вестник Омского ун-та, принята к печати. \bibitem{DMR_MRom1} Myasnikov A., Romanovskiy N. Krull dimension of solvable groups // J.~Algebra. 2010. V.~324, N.~10. P.~2814--2831. \bibitem{DMR_Louder} Louder L. Krull dimension for limit groups // Geometry \& Topology. 2012. V.~16, N.~10. P.~219--299. \bibitem{DMR_DJP} Diekert V., Je\.z A., Plandowski W. Finding all solutions of equations in free groups and monoids with involution // Inform. Comput. 2016. V.~251. P.~263--286. \bibitem{DMR_CDE} Ciobanu L., Diekert V., Elder M. Solution sets for equations over free groups are EDT0L languages // Int. J.~Algebra Comput. 2016. V.~26, N.~5. P.~843--886. \bibitem{DMR_CE} Ciobanu L., Elder M. The complexity of solution sets to equations in hyperbolic groups // Israel J.~Math. 2021. V.~245. P.~869--920. \bibitem{DMR_Plot9} Plotkin B. Algebraic logic and logical geometry in arbitrary varieties of algebras // Proc. Conf. Group Theory, Comb. Comp., AMS Cont. Math. Ser. 2014. P.~151--169. \bibitem{DMR_Plot8} Плоткин Б.И. Изотипные алгебры // Совр. пробл. матем. 2011. Т.~15. С.~40--66. \bibitem{DMR_MRom2} Myasnikov A.G., Romanovskii N.S. Characterization of finitely generated groups by types // Int. J.~Algebra Comp. 2018. V.~28, N.~8. P.~1613--1632. | |
Acknowledgements Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, проект FWNF-2022-0003 | |
| Сведения об авторах Даниярова Э. Ю. 1.1 Мясников А. Г. Ремесленников В. Н. |
| About the authors Daniyarova E. Yu. 1.1 Myasnikov A. G. Remeslennikov V. N. |
